第十五章 放开你的爪子！
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李振东看了张远一眼，看他对着手机露出了蜜汁微笑，心中一愣。
很好，找对象了。
一颗八卦心熊熊燃烧。
偷偷瞥了一眼，不对，竟然在做超级大脑？
李振东不得不捏住鼻子，没好气道：“这么努力的啊？”
“无聊，做题目消遣一下。你看这个积分，解法多优美啊，真正能够算出解析解的积分算式是很少的。”
消遣一下……
消遣……
消……
李振东额头上青筋乱跳，呼吸急促。联想到大学时期，张远就是这幅勤奋的狗样，害的他没少被爸妈批评。
“看看他，再看看你！”父亲的评判仿佛在耳边响起。
李振东心中不禁烦躁起来，这货大学毕业以后，不仅不收敛，反倒变本加厉。解题目已经变成了高级消遣，这么牛逼的么？！
“等一下，我妹妹那里有个游戏玩不出，益智游戏，你反正无聊就试试看。”
游戏？
“拿来瞧瞧吧。”
看到对方不怀好意的眼神，张远来了点兴趣，小孩子的玩意能有啥难度？
小姑娘拿着一个学习机递了过来，上边有着一个名叫“关灯游戏”的小程序。
题目是这样的：面板上亮着4*4的电灯方阵，每操作一盏电灯，连它自己带着周围上、下、左、右的电灯全都改变状态（亮变暗，暗变亮。）
如果通过一系列操作，让这些电灯全部熄灭，就算游戏过关。
“这个很简单嘛。”
张远随便点了几下，灯全部熄灭，过关了。
屏幕上又跳转出另外一幅图像，又变成了5*5的电灯矩阵，而且中间有几盏电灯已经灭掉了。
“难度有所增加。”
张远略微思索了一番，点了几下，又过关了，这次用的时间，比上一次更多一些。
很显然，随着电灯方阵的增加，游戏会越来越难。
“我的想法是……”
小姑娘眼睛扑闪扑闪，怯生生地说道：“如果有很大一个电灯队列，而且电灯的初始状态是任意的。那么，是否有一种数学算法，去求解这个问题，而不是随意地乱点乱凑……”
张远挠了挠头，笑着说道：“你妹妹很有数学思维嘛，这个通用算法，唔，我想想……”
“当然了，她有我一大半智商呢！”
“哥哥~我比你聪明~”
“你哪里比我聪明了？”
李振东嘴上笑嘻嘻，心中也笑嘻嘻。
这个题目很难。
为什么很难？
因为他李振东想了一阵子，没有做出来。
所以，爱做题目的张兄弟，你慢慢想，想到天昏地暗，日夜颠倒……
让好基友在亲妹妹面前丢人，他快活地很！解气的很呐！
“我先洗澡。你慢慢做噢。”
小姑娘满脸期待地看着张远，反正这种题目，她肯定做不出来的。
不过作为出题人，心中也异常得意。
张远的反应出乎他们的意料，他有点不好意思：“不用了，你先别洗澡，已经解开了。”
什么？
解开了？
李振东眼睛快要瞪出来，跑出卫生间，又灰溜溜地穿回内衣。
张远侃侃而谈：“按照题目：按一次开关，连同它本身以及上下左右的电灯全部改变状态。所以我们可以得到一个结论：对于某一盏电灯而言，按奇数次开关的效果，和按一次开关的效果相同；按偶数次开关的效果等价于没按，也就是0。”
有点意思。
“所以，如果题目有解，每一盏电灯顶多只操作一次，要么不操作。”
“首先讨论N*N的矩阵，这其实是一个二元群，而且同构于一个满秩的矩阵，既然矩阵满秩，必有唯一解……”
刚刚听了这么几句，李振东脑袋快要炸裂，灵感如同泉水般涌动！
等一下。
好像，就是这样……
很简单的题目嘛。
我怎么没有想到呢？
他不甘心地大喊道：“你怎么能用群论？初中生怎么听得懂群论？你不可以这样对我妹妹！”
连李振东妈妈都钻出来看了，发现他们并没有在干嘛，又摇了摇头，回到厨房。
“那行吧。初中生学过多元一次方程组了吧？”
小姑娘点了点头，二元一次方程组，确实是初中内容，消元法就、代入法就能求解。
三元一次，四元一次也是可以接受的。
张远继续道：“假设Aij为调整第i列第j盏灯的次数，很显然，按照我刚刚所说的，Aij不是1，就是0。”
“我们就拿最简单的2*2的矩阵举例，设一开始的关灯状态为0，开灯为1。”
“我们假设矩阵初始状态是这样：
【1-0】
【0-0】”
“那么可以写出四个方程：
A11⊕A12⊕A21=1
A11⊕A12⊕A22=0
A11⊕A21⊕A22=0
A12⊕A21⊕A22=0”
“求解可得A21=A11=A12=1，A22=0。所以只要依次操作A21、A11、A12这三盏灯就可以了，顺序无所谓。”
“……所有N*N矩阵问题都可以这样计算，而且必然有解。但N*M问题却不一定有解，原因是这样的……”
李振东欲哭无泪，眼睁睁地看着妹妹的目光一点点仰慕起来，甚至冒出了小星星！
虽然他明明知道妹妹大概率听不懂……
可是，可是，这个年纪的女孩子，天真单纯，眼中只有学习，她们对学霸没有任何抵抗力！
完了，妹妹对哥哥的仰慕，被别人抢走了啊！
只听到妹妹又问：“这个加号为什么要加一个圈？”
“因为是二元域运算，1⊕1=0，1⊕0=1，0⊕0=0，在计算机领域称作异或运算……如果用普通的加号，会算出负数。”
“张哥哥你懂的真多啊！”
“所以要努力一点，否则像你哥哥那样，有天赋却没有兑现，聪明也没有用……”
牲畜，还要损我！
go-die！
“张哥哥，帮我做一下奥数题目吧，又好多题目我不会。我哥哥又不帮我。”
“行……吧。”
我妹妹还未成年！
放开你的爪子！
“咳咳！”李振东重重地咳嗽了一下，警告道：“我去洗澡，你别乱来啊，我爸妈还在家呢。”
啥？
张远挠了挠头。
小姑娘不由得撇了撇嘴，翻了个白眼。她都已经上初中了，也懂许多事情了，就算谈恋爱也不会遭到家里人反对。
她感觉自己亲哥真是脑子有点问题，还是这个张远哥哥正常一点……
李振东看了张远一眼，看他对着手机露出了蜜汁微笑，心中一愣。
很好，找对象了。
一颗八卦心熊熊燃烧。
偷偷瞥了一眼，不对，竟然在做超级大脑？
李振东不得不捏住鼻子，没好气道：“这么努力的啊？”
“无聊，做题目消遣一下。你看这个积分，解法多优美啊，真正能够算出解析解的积分算式是很少的。”
消遣一下……
消遣……
消……
李振东额头上青筋乱跳，呼吸急促。联想到大学时期，张远就是这幅勤奋的狗样，害的他没少被爸妈批评。
“看看他，再看看你！”父亲的评判仿佛在耳边响起。
李振东心中不禁烦躁起来，这货大学毕业以后，不仅不收敛，反倒变本加厉。解题目已经变成了高级消遣，这么牛逼的么？！
“等一下，我妹妹那里有个游戏玩不出，益智游戏，你反正无聊就试试看。”
游戏？
“拿来瞧瞧吧。”
看到对方不怀好意的眼神，张远来了点兴趣，小孩子的玩意能有啥难度？
小姑娘拿着一个学习机递了过来，上边有着一个名叫“关灯游戏”的小程序。
题目是这样的：面板上亮着4*4的电灯方阵，每操作一盏电灯，连它自己带着周围上、下、左、右的电灯全都改变状态（亮变暗，暗变亮。）
如果通过一系列操作，让这些电灯全部熄灭，就算游戏过关。
“这个很简单嘛。”
张远随便点了几下，灯全部熄灭，过关了。
屏幕上又跳转出另外一幅图像，又变成了5*5的电灯矩阵，而且中间有几盏电灯已经灭掉了。
“难度有所增加。”
张远略微思索了一番，点了几下，又过关了，这次用的时间，比上一次更多一些。
很显然，随着电灯方阵的增加，游戏会越来越难。
“我的想法是……”
小姑娘眼睛扑闪扑闪，怯生生地说道：“如果有很大一个电灯队列，而且电灯的初始状态是任意的。那么，是否有一种数学算法，去求解这个问题，而不是随意地乱点乱凑……”
张远挠了挠头，笑着说道：“你妹妹很有数学思维嘛，这个通用算法，唔，我想想……”
“当然了，她有我一大半智商呢！”
“哥哥~我比你聪明~”
“你哪里比我聪明了？”
李振东嘴上笑嘻嘻，心中也笑嘻嘻。
这个题目很难。
为什么很难？
因为他李振东想了一阵子，没有做出来。
所以，爱做题目的张兄弟，你慢慢想，想到天昏地暗，日夜颠倒……
让好基友在亲妹妹面前丢人，他快活地很！解气的很呐！
“我先洗澡。你慢慢做噢。”
小姑娘满脸期待地看着张远，反正这种题目，她肯定做不出来的。
不过作为出题人，心中也异常得意。
张远的反应出乎他们的意料，他有点不好意思：“不用了，你先别洗澡，已经解开了。”
什么？
解开了？
李振东眼睛快要瞪出来，跑出卫生间，又灰溜溜地穿回内衣。
张远侃侃而谈：“按照题目：按一次开关，连同它本身以及上下左右的电灯全部改变状态。所以我们可以得到一个结论：对于某一盏电灯而言，按奇数次开关的效果，和按一次开关的效果相同；按偶数次开关的效果等价于没按，也就是0。”
有点意思。
“所以，如果题目有解，每一盏电灯顶多只操作一次，要么不操作。”
“首先讨论N*N的矩阵，这其实是一个二元群，而且同构于一个满秩的矩阵，既然矩阵满秩，必有唯一解……”
刚刚听了这么几句，李振东脑袋快要炸裂，灵感如同泉水般涌动！
等一下。
好像，就是这样……
很简单的题目嘛。
我怎么没有想到呢？
他不甘心地大喊道：“你怎么能用群论？初中生怎么听得懂群论？你不可以这样对我妹妹！”
连李振东妈妈都钻出来看了，发现他们并没有在干嘛，又摇了摇头，回到厨房。
“那行吧。初中生学过多元一次方程组了吧？”
小姑娘点了点头，二元一次方程组，确实是初中内容，消元法就、代入法就能求解。
三元一次，四元一次也是可以接受的。
张远继续道：“假设Aij为调整第i列第j盏灯的次数，很显然，按照我刚刚所说的，Aij不是1，就是0。”
“我们就拿最简单的2*2的矩阵举例，设一开始的关灯状态为0，开灯为1。”
“我们假设矩阵初始状态是这样：
【1-0】
【0-0】”
“那么可以写出四个方程：
A11⊕A12⊕A21=1
A11⊕A12⊕A22=0
A11⊕A21⊕A22=0
A12⊕A21⊕A22=0”
“求解可得A21=A11=A12=1，A22=0。所以只要依次操作A21、A11、A12这三盏灯就可以了，顺序无所谓。”
“……所有N*N矩阵问题都可以这样计算，而且必然有解。但N*M问题却不一定有解，原因是这样的……”
李振东欲哭无泪，眼睁睁地看着妹妹的目光一点点仰慕起来，甚至冒出了小星星！
虽然他明明知道妹妹大概率听不懂……
可是，可是，这个年纪的女孩子，天真单纯，眼中只有学习，她们对学霸没有任何抵抗力！
完了，妹妹对哥哥的仰慕，被别人抢走了啊！
只听到妹妹又问：“这个加号为什么要加一个圈？”
“因为是二元域运算，1⊕1=0，1⊕0=1，0⊕0=0，在计算机领域称作异或运算……如果用普通的加号，会算出负数。”
“张哥哥你懂的真多啊！”
“所以要努力一点，否则像你哥哥那样，有天赋却没有兑现，聪明也没有用……”
牲畜，还要损我！
go-die！
“张哥哥，帮我做一下奥数题目吧，又好多题目我不会。我哥哥又不帮我。”
“行……吧。”
我妹妹还未成年！
放开你的爪子！
“咳咳！”李振东重重地咳嗽了一下，警告道：“我去洗澡，你别乱来啊，我爸妈还在家呢。”
啥？
张远挠了挠头。
小姑娘不由得撇了撇嘴，翻了个白眼。她都已经上初中了，也懂许多事情了，就算谈恋爱也不会遭到家里人反对。
她感觉自己亲哥真是脑子有点问题，还是这个张远哥哥正常一点……